分数のたし算

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

問題文を読むと、リンゴを二回食べていることがわかるね。
はじめは、リンゴ２個を６人で分けて食べたね。
次に、リンゴ３個を６人で分けて食べたね。

質問は、一人あたり、リンゴを合わせて何個食べたか、だよね。
だから、一回目に食べた数と、二回目に食べた数を計算して、たし算しよう。

はじめに、一回目に食べたリンゴの個数を計算しよう。
リンゴ２個を６人で分けたから、一人あたりのリンゴの数は、

だよね。分ける数は２個、分ける人数は６人だから、
だね。

つぎに、二回目に食べたリンゴの個数を計算しよう。
リンゴ３個を６人で分けたから、一人あたりのリンゴの数は、

だね。

これで、一回目と二回目に食べたリンゴの数が分かったね。
一回目は、 コ、二回目は、 コだね。
さぁ、計算しよう！

分数は、分子と、分母があるけど、どうやって計算するんだろう？
分子は分子でたし算して、分母は分母でたし算するのかな？

残念。違っているよ。
もう一度、「３分の１」と「２分の１」の大きさにを、図に書いて考えてみよう。
「３分の１」は、１を３コに分けた大きさだから、


だね。

「２分の１」は、１を２コに分けた大きさだから、


だね。

「３分の１」と「２分の１」を合わせて、１と比べてみると、下の図の大きさになるね。


これに「５分の２」の大きさを並べてみると、こんな感じかな。


大きさが、全然違うね。
だから、
＋ は じゃないんだ。

では、どうやって計算するんだろう。

分数の考え方を思い出してみよう。
「３分の１」は「三等分にしたときの１コ」だったよね。
「３分の１」が２つあると、「３分の２」になるよね。
これを式で書くと、

だよね。

答えは合っているよ。さっきのたし算と何が違うんだろう？
そう、分母が同じ数なんだ。

分母は、１を「何等分にしたか」を表しているんだったよね。
「３分の１」は、３等分に分けているよね。「２分の１」は、２等分に分けているよね。
分けた数（分母）が違うから、たし算できないんだ。
いいかえると、たし算するためには、分母を同じ数にしないといけないんだ。

これは、大事なことを見つけたね。覚えておこう。

分数のたし算は、分母を同じ数にすればいいんだよね。
では、

は、どうやって分母を同じにすればいいんだろう。

分数の考え方を思い出そう。
「３分の１」は、１を３コに分けた数だよね。（下の図の左から２番目だね。）
「３分の１」をほかの数で書き換えるには、全体をもっとたくさんの数に分ければいいんじゃないかな？
たとえば、全体を６等分したときはどうだろう？
６等分したときの図を書くと、こんな感じかな。（下の図の右から２番目だね。）



「３分の１」は「６分の２」に書きかえられたね。

ちなみに、３の倍数でない、４で分けたときの、図で書くと、こんな感じかな。



「４分の１」が４つを、余りがないように３つに分けられないから、「３分の１」は「４分の１」を使って書きかえられないね。
つまり、「３分の１」をほかの数で書き換えるには、全体を、３でちょうど割れて余りが無い数に、分ければいいんだ。
では「３でちょうど割れて、余りが無い数」はなんだろう？
そう、「３の倍数」で分ければいいよね。
「３の倍数」は、３でちょうど割れて、余りが無いよね。

さて、つぎに「２分の１」を考えよう。
さっきの「３分の１」と同じ考え方だね。
「２分の１」をほかの数で書き換えるには、全体を「２の倍数」で分ければいいんだ。
つまり、分母が「２の倍数」の分数で書きかえられるんだ。
たとえば、２の倍数の「４」でわけたときの、図を書くと、こんな感じかな。



「２分の１」は「４分の２」に書きかえられたね。

さて、では、「３分の１」と「２分の１」をたし算するときの、分母の数はいくつかな？
「３分の１」は「３の倍数」でないと、書きかえられないし、「２分の１」は「２の倍数」でないと、書きかえられないよね。
ということは、分母は、「３の倍数であり、２の倍数でもある数」だったらいいよね。
「３の倍数であり、２の倍数でもある数」を「３と２の公倍数」っていうんだよね。
とくに、一番小さな公倍数を「最小公倍数」っていうんだったね。

「３と２の最小公倍数」は、「３分の１」と「２分の１」の両方を書きかえることができるから、
「３と２の最小公倍数」を使って、書きかえてみよう。

ところで、「３と２の最小公倍数」はいくつかな。
そう、「６」だよね。
では、

を、分母を６に書きかえよう。分母を同じ数にそろえることを「通分（つうぶん）」っていうんだ。ちょっとカッコいい言い方だから、おぼえよう。

では、

「分数」で学んだように、分母と分子に同じ数をかけ算しても、数の大きさは変わらないんだったね。
分母を３から６にしたいから、分母には２をかけ算するといいね。３×２＝６だからね。
分子も分母と同じ数をかけ算するんだったよね。
だから、
だね。

つぎに、

分母を２から６にしたいから、分母には３をかけ算するといいね。２×３＝６だからね。
分子も分母と同じ数をかけ算するんだったよね。
だから、
だね。

これで、分母を６にそろえられるね。
さぁ、式を書きかえよう。

だね。
分数をたし算するときは、式を変形しよう。式が変形するなんて、おもしろいよね。
分数のたし算とひき算では、分母が同じときは、分母を一つにして、分子には、それぞれの分数の分子を書くんだ。
このとき、たし算のときは分子と分子のたし算に、ひき算のときは分子と分子のひき算に書きかえるんだ。
というように書くんだね。
これを計算して、
だね。

さて、問題は、

だったね。
はじめの質問は
だね。式は、
だから、答えは、
だね。
次の質問は、
だね。式を書くと、さっきの食べたリンゴの 個を合わせて、
になるね。だから、答えは、
だね。

分数のひき算

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

はじめの質問は、

だね。
もとの数が、リンゴ２個で、それを８コに分けるから、式は、
だね。これを計算すると
だね。
だから、答えは、
だね。

つぎの質問は、

だね。

質問は、はじめにリンゴが２個あって、何個か食べた後、残ったリンゴの個数を答えるんだよね。
食べた数が分かれば、ひき算すると、答えが分かるね。
そのときの式は、

だね。

では、食べたリンゴの数を計算しよう。
食べたリンゴの数は、

だね。
１コあたりの大きさは、さっき計算した コだね。
食べた数は、問題文を読むと６人が一個ずつ食べたから、６コ食べたよね。
だから、食べたリンゴの数は、
は約分できるよね。約分すると、
だね。
だから、残ったリンゴの数は、
だね。ところで、
は、どうやって計算するんだろう？
分数があるひき算だから、通分するといいね。


ここで、思い出してみよう。
だったよね。
では、２の場合はどうかな？　考えてみよう。
だよね。なぜなら、１＝ ＋ だからね。
これを、分母を残したまま計算すると、
になるね。
実は、分数を考えるときには、分母が１のときは、分母を省略できる（書かなくてもいい）んだ。
だから、
って書きかえられるんだ。だから、２は、
というように、分母を２に書き換えられるんだ。


では、残ったリンゴの数を計算する式をもう一度考えよう。
残ったリンゴの数を計算する式は、
だったね。
２を書きかえて通分すると、
だね。
分数のたし算とひき算では、分母が同じときは、分母を一つにして、分子には、それぞれの分数の分子を書くんだ。
このとき、たし算のときは分子と分子のたし算に、ひき算のときは分子と分子のひき算に書きかえるんだ。
だから、
だね。
これを計算すると、
だね。
だから、答えは、
だね。