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ここでは、3つ以上の数の「公倍数(こうばいすう)」と「公約数(こうやくすう)」について考えよう。

3つ以上の数の公倍数と最小公倍数

公倍数を考えるときには、素因数分解を使って計算したよね。
2つの数の最小公倍数は「公倍数・公約数の計算」の「最小公倍数を計算する」で計算したね。
3つ以上の数のときも、同じ考え方で計算すればいいんだ。

次の問題を考えよう。

2と3と4の公倍数を小さい順に5つ書きなさい。

さあ、考えよう。

この問題をカッコよく答えるには、2と3と4の最小公倍数を考えればいいよね。
なぜなら、最小公倍数の倍数が、2と3と4の公倍数になるんだったよね。

最小公倍数を計算するには、2と3と4を素因数分解して、最小公倍数がそれらの素因数を含んでいればいいんだよね。

「2」は素数だね。
だから、最小公倍数には「2」を含んでなければならないよね。

「3」は素数だね。
だから、最小公倍数には「3」を含んでなければならないよね。

「4」は素因数分解すると、「2×2」だね。
だから、最小公倍数には「2×2」を含んでなければならないよね。

上の3つをまとめると、最小公倍数は「2×3×2」になるから、最小公倍数は「12」だね。

答えは最小公倍数である12の倍数になるから、

2と3と4の公倍数を小さい順に5つ書きなさい。

答え)
12、24、36、48、60。
だね。

3つ以上の数の公約数と最大公約数

公約数を考えるときには、素因数分解を使って計算したよね。
2つの数の最大公約数は「公倍数・公約数の計算」の「公約数と最大公約数を計算する」で計算したね。
3つ以上の数のときも、同じ考え方で計算すればいいんだ。

次の問題を考えよう。

24と32と36の最大公約数を答えなさい。

さあ、考えよう。

この問題をカッコよく答えるには、まずは公約数を計算して、公約数の中で一番大きな数、つまり、最大公約数を計算すればいいよね。
公約数を考えるには、24と32と36をそれぞれ素因数分解して、いずれの数にも含まれている素因数を書き出していけばいいよね。

「24」を素因数分解すると「2×2×2×3」だね。
「32」を素因数分解すると「2×2×2×2×2」だね。
「36」を素因数分解すると「2×2×3×3」だね。
いずれの数にも含まれている素因数は、2が二つだね。

だから公約数は、1と、二つの2を使ってできる数だね。
公約数は小さい順に、



2×2=4
の3つだね。
最大公約数は、公約数で一番大きな数だから「4」だね。
だから、答えは、
24と32と36の最大公約数を答えなさい。

答え)

だね。


最大公約数をひっ算で計算してみよう。

次の問題を考えよう。

12と16と32の最大公約数を書きなさい。
次はひっ算で計算してみよう。

素因数分解のひっ算と同じように計算するよ。
ただし、公約数を計算する数字を横に並べるんだ。

つぎに、並べた全部の数が、割り切れる数で素因数分解していくんだ。
割り切れる数を探すときは、小さな数から考えていくと計算しやすいね。
2で割り切れるかな?...12と16と32は2で割り切れるね。
だから、

になるね。
次はどうだろう?
また、2で割り切れるかな?...6と8と16は2で割り切れるね。
だから、

になるね。
次はどうだろう?
3と4と8を割り切れる数はあるかな?
そう、もうこれ以上は素因数分解できないね。

最大公約数は、ひっ算の左側にある数(下の赤色の数)、をかけ算した数なんだ。

最大公約数は、2×2=4、だ。
だから、答えは、

12と16と32の最大公約数を書きなさい。

答え)


ちなみに、左側の数を組み合わせてかけ算した数が、公約数になるよ。
12と16と32の公約数は、1と2を二つ組み合わせてできる数だから、


2×2=4
の三つだね。
「1」はひっ算には含まれていないけど、公約数だから忘れずに書こう。


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