ここでは、「公倍数（こうばいすう）」と「公約数（こうやくすう）」を計算で導き出す方法を説明するよ。

「素因数分解（そいんすうぶんかい）」ってなに？

公倍数と公約数の考え方は分かったけど、カッコよく計算する方法はないのかな？
「２と３の公倍数」を見つけるために、「２の倍数」と「３の倍数」をたくさん書いて探すのは大変だよね。
「１２と１５の公約数」を見つけるために、「１２の約数と１５の約数」を全部書いて探すのは大変だよね。

そのためには、素因数分解（そいんすうぶんかい）を使うと便利なんだ。
カッコいい計算のやり方だから、覚えよう。

素因数分解には「素数」を使うよ。「素数」をわすれたら、こちらで確認しよう。

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

６を素数のかけ算にするのだから、６が何で割り切れるかを考えればいいよね。
割り切れる数は、約数だよね。

だね。これを使って、６をかけ算に書き換えると、
だよね。どの式がいいんだろう？

１）と４）は、もとの数字の６がまだあるから、６を書き換えていないよね。。。

２）と３）は、使っている数字が２と３で同じだね。かけ算は、数字の順番を入れ替えても答えは同じだったよね。
だから、２）と３）は答えが同じになるから、どちらを書いてもいいんだ。

ここからは、２）の式を使って考えよう。
２は素数かな？　素数だよね。
３は素数かな？　素数だよね。
だから、答えは、
だね。

実は今、６を素因数分解したんだよ。
もとの数を、素数だけのかけ算にすることを「素因数分解」というんだ。
もとの数を、素数で書き換えるのって、カッコいいよね。
素因数分解の仕方を覚えよう。

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

２４の約数は、１，２，３，４，６，８，１２，２４だよね。
いろんな数で割り切れるね。素数じゃない数も含まれているね。
２４を簡単に素数のかけ算に書き換えられないかな？

素因数分解は、もとの数を素数だけのかけ算に書き換えるんだよね。
だから、もとの数を、素数でわり算して、もとの数に含まれている素数を計算しよう。

はじめに、もとの数の２４を、素数の２で割ろう。

だね。だから、
だね。１２は素数の２で割れるよね。
だね。だから、
だね。６は素数の２で割れるよね。
だね。だから、
だね。３は素数でこれ以上割れないよね。だから、答えは、
だね。

さて、２４を素因数分解するときに、何回もわり算をしたよね。
２４を２でわり算するとき、ひっ算は、

って書くよね。
でも、これだと、次に１２を２でわり算するときに、別にひっ算を書かないといけないから、分かりにくいよね。

実は、素因数分解がしやすいひっ算の書き方があるんだ。
それは、２４を２でわり算するときは、

って書くんだ。
わり算の答えの１２は、２４の下に書くんだ。
わり算のひっ算と同じように、十の桁と、一の桁は縦にならぶように書くんだ。

次に１２を２で割り算するよ。このときは、
って書くんだ。
次に６を２で割り算するよ。このときは、
って書くんだ。
ここで、左の数字と、一番下の数字をかけ算してみよう。
下のオレンジ色の数字だよ。
２×２×２×３になるよね。
これは、２４の素因数分解した式なんだ。
だから、２４を素因数分解した式は、
だね。

公倍数を計算する

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

４と６の二つがあるから、４と６を別々に考えよう。

はじめに、４の倍数を考えてみよう。
４を素因数分解のひっ算をすると、

になるから、４＝２×２だ。
４の倍数を、２×２を使って書くと、
だね。
これからわかるように、４の倍数は、必ず２が二つあるんだ。
それはそうだよね。
だって、４＝２×２、だから、２が二つあるよね。
でも、これはとても大事なことなんだ。

つぎに、６の倍数を考えてみよう。
６を素因数分解のひっ算をすると、
になるから、６＝２×３だ。
６の倍数を、２×３（または３×２）を使って書くと、
だね。
これからわかるように、６の倍数は、必ず２が一つと、３が一つあるんだ。
それはそうだよね。
だって、６＝２×３、だから、２が一つと、３が一つあるよね。
でも、これはとても大事なことなんだ。

さて、４と６の公倍数は、４の倍数であり、６の倍数だから、
よね。
これを考えると、４と６の公倍数は、
を含んでいる数だよね。なぜなら、４の倍数になるための、２×２があるし、
６の倍数になるための、２×３がある
ね。
この式を計算すると、
になるから、公倍数は１２の倍数だね。

だから、次の問題の答えは、

１２の倍数で小さい順に３つの数だから、
を計算して、答えは、
だね。
ちなみに、最小公倍数は、一番小さな公倍数だから、１２、だよね。

最小公倍数を計算する

最小公倍数の計算は、公倍数の計算と同じだね。
つぎの問題を考えよう。

さあ、考えよう。

８を素因数分解すると、
だよね。
だから、８の倍数は２が三つあるんだ。

１２を素因数分解すると、
だよね。
だから、１２の倍数は２が二つと、３が一つあるんだ。

だから、８と１２の最小公倍数は、
の両方を持っているから、
になるね。
こうすると、８の倍数の２×２×２を持っているし、
１２の倍数の２×２×３も持っているよね。

これを計算すると、

だね。だから答えは、
だね。

公約数と最大公約数を計算する

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

考える数が２４と４２の二つがあるから、別々に考えよう。

はじめに、２４の約数を考えてみよう。
２４を素因数分解すると、

になるね。
約数は、もとの数をちょうど割り切れる数だから、
たとえば、２は約数だね。
なぜなら、計算すると、
だね。余りが出ずに、ちょうど割り切れたね。だから、２は約数だね。
実は、２４を素因数分解した数（２が三つと、３が一つ）を使って計算できる数が、約数なんだ。
たとえば、２を二つと３を一つ使った数（２×２×３）は２４の約数なんだ。
ためしに、計算してみよう。
カッコを外すして計算すると、
になるね。余りが出ずにちょうど割り切れたね。

だから、２４の約数は１を含めて書くと、下記の数になるんだ。

約数を小さい順に書きかえると、
だね。

つぎに、４２の約数を考えてみよう。
４２を素因数分解すると、

になるね。
だから、約数を小さい順に書くと、
だね。

２４と４２の公約数は、２４を割っても、４２を割っても、割り切れる数だね。
だから、公約数は、２４の素因数に含まれていなければならないし、４２の素因数に含まれていなければならないんだ。
つまり、公約数は、

数なんだ。
両方に含まれているのは、２が一つと、３が一つだね。
だから、公約数は、２を一つと、３を一つ使ってできるすべての数なんだ。
つまり、２４と４２の公約数は、１を含めると、
の４つなんだ。
たしかにどの数も、２４と４２の素因数に含まれているよ。

だから、

の問題の答えは、
だね。

最大公約数は、一番大きな公約数だから、

だね。